MEKANIKA ANALITIK EULER -LAGRANGE

MEKANIKA ANALITIK EULER -LAGRANGE
Dalam mekanika klasik sistem diskrit yang ditelaah menggunakan paradigma Newton, paradigma Lagrange-Hamilton dan Hamilton-Yakobi, dapat dikaji gerak suatu benda dipengaruhi oleh benda-benda lain disekitarnya yang saling berinteraksi satu dengan yang lainnya oleh massa yang dimilikinya (paradigma gravitasi Newton) misalnya peredaran planet-planet mengelilingi matahari sebagai pusat tata surya.

5.1. Persamaan Lagrange
Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan konservatif adalah fungsi dari posisi.
Pada umumnya transformasi dari sistem koordinat kartesan r1 ,r2 ,r3,…,t ke sistem koordinat umum q1, q2, q3,…,t dapat dilakukan dengan menyatakan :
(1)
Persamaan ini disebut sebagai persamaan transformasi sehingga
(2)
Dengan menganggap ecara eksplisit tak bergantung waktu, maka suku , sehingga :
(3)
(4)
Apabila ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang, namun ternyata tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Apabila sistem dianggap setimbang maka total gaya yang bekerja pada sistem tersebut sama dengan nol , demikian pula total kerja yang dilakukan oleh gaya menggeser partikel sebesar juga sama dengan nol . Jika total gaya yang bekerja pada sistem terdiri dari gaya luar dan gaya kendala (konstrain) maka dalam keadaan kesetimbangan mekanik,
(5)
Apabila sistem dibatasi pada kondisi kerja nyata oleh gaya kendala sama dengan nol, (misalkan pada benda tegar tentu saja kerja oleh gaya internalnya sama dengan nol dalam hal ini tidak terjadi perubahan bentuk benda akibat gaya internal) maka suku kedua pada pers. (4.5) sama dengan nol sehingga pers. 4.5 menjadi . Oleh karena gaya luar , maka yang harusnya sama dengan nol (hal ini dipenuhi apabila kita hanya meninjau kesetimbangan saja/statika), namun apabila ada konstrain/gaya kendala yang bekerja pada sistem yang berada dalam kesetimbangan mekanik maka diperlukan suatu batasan persamaan gerak seperti yang diajukan oleh D’Alembert sebagai berikut

; (6)
dengan = Gaya Luar Sistem dan = Perubahan Impuls
Berdasarkan azas D’ Alembert maka persamaan transformasi menjadi
= (7)
dimana:
(Gaya umum); adalah hasil transformasi gaya F dari sistem koordinat kartesian (r1 ,r2 ,r3,…) ke sistem koordinat (q1 ,q2 ,q3,…)
selanjutnya

(8)
(9)
(10)
untuk dapat disederhanakan menjadi :


(11)
karena tak tergantung waktu, maka persamaan (11) menjadi:
= + 0 (12)
=
= (13)
Analogi yang sama dengan:
=
karena itu persamaan (13) menjadi:




(14)
sehingga berdasarkan prinsip D’Alambert:


(15)
Apabila medan gaya umum dapat dinyatakan sebagai minus gradient suatu potensial, sementara itu V tidak bergantung pada t maupun pada kecepatan yang diperumum , tetapi hanya bergantung pada posisi, maka gaya umum dapat ditulis dalam bentuk:
Qj =
Qj =
Qj =
Qj = (16)
dengan demikian persamaan (16) menjadi:



(17)
Keterangan :
L = fungsi Lagrange = kecepatan umum
V = Energi potensial = koordinat umum
T = Energi kinetik
Persamaan (17) disebut persamaan Lagrange dan L = T – V dikenal dengan istilah fungsi Lagrangian. Jika didefinisikan Lagrangian adalah sebagai selisih antara energi kinetik dan energi potensial, persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan waktu. Untuk penulisan koordinat umum yaitu koordinat yang dapat berubah dengan bebas yang cacahnya = f = derajat kebebasan sistem yang tidak lain adalah dimensi ruang yang ditinjau. Derifatifnya ke waktu dikenal sebagai kecepatan umum.
Sering kali tidak semua dapat bernilai bebas. Terdapat sejumlah Nc pembatas (constraints) gerak yang mengurangi derajat kebebasan nilai dari 3N buah menjadi 3N-Nc = f buah sehingga hanya f daripadanya yang benar-benar bebas. Apabila pembatasan gerak tersebut dapat diungkapkan dalam Nc hubungan fungsi
maka terjadi pembatasan holonomik, jika tidak pembatasan bersifat nonholonomik
Kegayutan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari kegayutan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan oleh persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum yang mengandung fungsi waktu. Jadi sistem holonomik yaitu sistem yang koordinat-koordinat transformasinya tidak tergantung satu sama lain atau fungsi kendalanya sama dengan nol. Salah satu contohnya seperti dalam Osilator harmonik sederhana.
Untuk  yang tak memuat waktu, hadir pembatasan skleronomik sedangkan bila  bergantung waktu t, pembatasan gerak bersifat rheonomik.
Contoh:
Gerak suatu banduk kerucut: jarak titik massa m dengan koordinat kartesan yang sumbu z nya vertikal ke bawah dari titk gantung O tetap = l . Apabila (x,y,z) adalah kordinat titik P letak zarah m, maka berlaku
(satu pembatasan gerak)







Jumlah derajat kebebasan 3-1=2, jadi dapat dipilih 2 koordinat umum, yakni

Kaitan penghubungnya dengan koordinat kartesan (x,y,z) berbentuk

;dan
atau
kalau dibalik hubungannya menjadi

Jadi terjadi transformasi dari koordinat kartesan yang memiliki tiga derajat kebebasan (tiga dimensi) ke koordinat bola dengan dua derajat kebebasan (q1 = , q2 = ) mengingat batasan bahwa panjang tali l tetap atau q3 = r merupakan suatu konstrain atau hanya dua koordinat yang benar-benar bebas. Sistem ini merupakan sistem dengan fungsi kendala yang tidak sama dengan nol atau juga dikenal sebagai sistem nonholonomik.

5.2 Masalah Gaya Memusat
Secara umum gerak translasi sebuah partikel tunggal yang berada dalam pengaruh medan pusat (energi potensial hanya bergantung pada jarak dari beberapa titik tetap) dengan gaya yang bekerja pada partikel dalam koordinat polar dapat di defenisikan dalam
(18)
dimana L adalah Lagrangian yang merupakan selisih energi kinetik dan energi potensial sistem, demikian pula dari persamaan gerak Lagrangenya diperoleh ungkapan momentum sudutnya
, (19)
sehingga dapat diperoleh perumusan kekekalan momentum sudut M sebesar
. (20)
Dengan membawa ungkapan kekekalan momentum pada pers. (20) kedalam interpretasi geometri (gambar 1) ungkapan tidak lain adalah luasan yang disapu oleh partikel tunggal yang bergerak dibawah pengaruh medan pusat yang besarnya merupakan vektor konstan (Hukum Kepler II).


Gambar 1 interpretasi geometri Hukum Kepler II
Untuk menjelaskan gerak partikel tunggal dibawah pengaruh medan pusat, dalam paradigma Lagrange dimulai dari perumusan hukum kekekalan energi dan hukum kekekalan momentum sudut , dengan ungkapan total energi yang dimilikinya adalah
(21)
Untuk menunjukan kebergantungan secara implisit jarak r dari pusat medan terhadap waktu dapat diperoleh dari pers.(21), yakni
(22)
Sementara itu, dari persamaan kekekalan momentum sudut dapat dicari formulasi hubungan antara sudut  dengan jarak r yang disebut sebagai persamaan lintasan dengan memanfaatkan pers. (22) sebagai berikut

(23)
Persamaan lintasan (23) inilah yang merupakan persamaan dasar yang dipakai untuk menjelaskan lebih mendetail permasalahan yang ada dalam gerak edar planet yang kemudian dapat menjelaskan secara menyeluruh terangkum dalam Hukum Kepler.
5.3. Aplikasi Sederhana Formulasi Lagrangian
5.3.1. Pesawat Atwood
Pesawat Atwood merupakan sebuah sistem konservatif yang holonomik dengan mengasumsikan gesekan dan massa tali dapat diabaikan.
Oleh karena itu hanya ada satu variabel bebas yaitu koordinat sumbu x yang dipilih maka qj = x; Energi potensialnya adalah dan energi kinetiknya .
Dengan memanfaatkan energi kinetik dan energi potensial diperoleh rumusan Lagrangian,
(24)
Untuk mendapatkan persamaan geraknya maka dengan









memanfaatkan persamaan
sehingga diperoleh

yang mana sama dengan yang diperoleh melalui penjabaran kesetimbangan gaya karena konsep gaya diperlukan sebagai kuantitas fisis yang berperan dalam aksi terhadap partikel. Dalam dinamika Lagrangian kuantitas fisik yang ditinjau adalah energi kinetik dan energi potensial partikel. Keuntungannya, karena energi adalah besaran skalar maka energi bersifat invarian terhadap transformasi koordinat.
5.3.2. Osilator Harmonis Beberapa Sistem Pegas
5.3.2.1 Sistem pegas yang dihubungkan dengan sebuah beban
Jika sebuah massa dalam osilasi sistem pegas di pasang sedemikian seperti gambar dibawah ini :




Gambar 4.1. Sistem pegas yang dihubungkan dengan sebuah beban
Kita andaikan massa ini bergerak dengan kecepatan , maka energi kinetik sistem dapat kita tulis dalam bentuk:
(25)
ketika pegas meregang sejauh x dari posisi setimbang sebagai akibat dari pergerakan benda bermassa m dengan kecepatan v, lalu kembali lagi ke posisi semula (elastik) maka energi potensial dari pegas kita dapat tuliskan dalam bentuk
(26)
Maka fungsi Lagrange-nya menjadi
L = T – V
Bila diuraikan derivatif parsialnya
; dan
maka persamaan geraknya untuk gerak satu dimensinya diberikan oleh,

atau

atau (27)
sehingga diperoleh rumusan fungsi osilator harmonik berbentuk
x = A cos (t + ) (28)
dengan menunjukkan besarnya frekuensi alamiah ( ) yang dialami oleh benda bermassa m pada saat sistem mengalami gerak osilasi harmonik.
5.3.2.2. Osilasi Pegas dengan Dua Buah Beban
Kasus istimewa untuk sistem osilasi pegas dengan massa lebih dari 1 buah. Misalkan sistem pegas di buat dengan pemodelan sedemikian dimana ada dua massa m1 dan m2 yang terkait ke pegas K1 dan K3 dan di gandeng oleh pegas K2 sehingga gerak m1 dan m2 tidak bebas seperti gambar 4.2 di bawah ini. Perpindahan di ukur positif bila bergerak ke arah kanan. Pegas K1 mengadakan gaya K1x1 pada m1, demikian pula pegas K3 mengadakan gaya K2x2 pada m2. Pegas K2 mengalami perpanjangan x1 – x2, dan karena itu gaya yang bekerja pada tiap partikel ketika partikel mencoba memulihkan panjang semula adalah K2(x1-x2).






Gambar 4.2. Sistem pegas yang dihubungkan dengan dua buah benda bermassa m1 dan m2
Dalam sistem ini kita dapat menerapkan cara yang sama dengan kasus di atas (dengan 1 massa), sekali lagi karena dalam persamaan Lagrange secara keseluruhan menyatakan kuantitas energi, maka metode yang digunakan kembali dengan merumuskan persamaan energi kinetik dan potensial sistemnya. Dengan demikian untuk gambar 4.2 di atas, Energi Kinetik sistem diberikan oleh :

dengan Energi Potensial pegas adalah :
(30)
Dengan mengambil , maka :
(31)
Jika persamaan (30) dan (31) kita uraikan dalam bentuk persamaan diferensial parsial,

Untuk memudahkan perhitungan, kita dapat mengambil koordinat y1 dan y2 sebagai koordinat baru melalui tranformasi linear dengan:
(34)
Atau:
dan (35)
Maka persamaan (33) menjadi:
(36)
Diferensial parsial terhadap y, menghasilkan :

(37)

(38)


Dari persamaan ini diperoleh:
(38a)
Persamaan ini merupakan frekuensi sudut alamiah pada benda bermassa m1 saat terjadi osilasi dalam sistem.
(39)
= 0

Dengan demikian frekuensi sudut pada benda bermassa m2 dari sistem adalah:
(39a)
Tampak bahwa dari persamaan (38a) dan (39a) nilai frekuensi alamiah m1 dan m2 keduanya tidak sama dengan nol, hal ini berarti baik m1 maupun m2 keduanya berosilasi saat sistem mengalami osilasi. Kondisi ini dapat dipahami, karena yang dijadikan sebagai titik acuan gerak adalah dinding yang diam tidak bergerak yang terikat langsung oleh pegas K1. Akan tetapi, meskipun kedua massa bergerak tidak berarti besar frekuensi alamiah yang dialami kedua massa itu sama. Frekuensi alamiah yang dialami oleh m2 lebih besar karena konsekuensi dari perpindahan gerak sistem yang diukur pada sumbu x positif.
5.3.2.3 Osilasi Gandeng Harmonis Sistem Pegas Dengan Tiga Buah Beban Dengan Massa Yang Sama
Osilator gandeng dengan menggunakan 2 buah pegas dengan konstanta K yang dihubungkan oleh 3 buah benda bermassa M yang sama.


Gambar 4.4.
Untuk menyelesaikan model osilator gandeng seperti gambar 4.4 ini terlebih dahulu kita ambil x1, x2 dan x3 sebagai perpindahan akibat respek massa dari posisi seimbangnya yang bergerak pada sumbu x positif.
Jika Energi Kinetik dan Energi Potensial dari sistem adalah
(40)
(41)
Dan Fungsi Lagrange dari sistem ini adalah:
L = T – V
(42)
Persamaan Lagrange sistem dapat dituliskan menjadi:

dengan demikian diperoleh masing-masing suku 1:


(43)
dan suku 2 dari persamaan Lagrange adalah:



Penguraian suku-suku di atas dari energi kinetik dan energi potensial sistemnya menghasilkan:
• (45)
• (46)
• (47)
Substitusi persaman (43) maka persamaan (45), (46) dan (47) menjadi:
•

(48)
•

(49)
•

(50)
Dari persamaan (48), (49), dan (50) dapat kita bentuk menjadi sebuah persamaan matriks:

Karena x1, x2, dan x3 tidak sama dengan nol maka determinan dari matriks berordo 3 x 3 akan sama dengan nol dan diperoleh persamaan karakteristik seperti ini:
(51)
Nilai-nilai eigen yang dinyatakan dari akar-akar persamaan menghasilkan Frekuensi sudut sistem (pembuktian persamaan dapat dilihat pada lampiran):
(52)
Dari frekuensi sudutyang diperoleh dapat dilihat adanya pengaruh massa penghubung pegas untuk terjadinya osilasi harmonis dalam sistem pegas. Pada umumnya bilamana sistem yang mampu berosilasi dipengaruhi oleh sederet denyut periodik yang sama atau hampir sama dengan salah frekuensi alami dari osilasi sistem tersebut, maka sistem tersebut akan dibuat berosilasi dengan amplitudo yang besar. Artinya jika massa sistem dibuat sama maka frekuensi alami yang dihasilkan untuk terjadinya osilasi tidak terlalu besar. Fenomena ini umumnya dinamakan resonansi. Oleh karena itu pada kasus pertama (gambar 4.3) salah satu massa yang terletak di tengah (m) dibuat lebih kecil dari ketiga massa penghubung pegas dimana M>m, akibatnya frekuensi sudut yang dihasilkan lebih besar dari frekuensi sudut pada kasus kedua (gambar 4.4) dimana ketiga massa penghubung pegasnya (M) secara keseluruhan dibuat sama.
5.3.2.4 Osilasi Gandeng Harmonis Sistem Pegas Dengan Tiga Buah Beban Yang Masanya Berbeda
Osilator gandeng dengan menggunakan 2 buah pegas dengan konstanta K yang sama yang dihubungkan oleh 3 buah benda bermassa M dan m, dimana M > m.




Untuk pemodelan osilator gandeng harmonik sistem pegas seperti gambar 4.3, kita ambil x1, x2 dan x3 sebagai perpindahan posisi pegas yang disebabkan oleh ketiga massa (diasumsikan M1 = M2) dan bergerak ke kanan dari posisi kesetimbangan,
Energi Kinetik sistem osilator gandeng tersebut adalah :
(53)
Energi potensial sistem osilator adalah :
(54)
Jadi :
(55)
Persamaan langrange sistem adalah :
;
Dari sistem di atas di peroleh:

= (56)

(57)
Sehingga:
; ;
= 0 .(58)
(59)
(60)
karena dalam Osilator Harmonik:
x = A Cos

(61)
substitusi persamaan (61) ke persamaan (58), (59), dan (60) menghasilkan:


(62)


(63)

(64)
(65)
dalam bentuk matriks persamaan-persamaan (62), (63), dan (65) dapat dituliskan sebagai berikut:
(66)
Bentuk ini dapat diselesaikan dengan mengambil determinan dari matriks tersebut yang menghasilkan persamaan karakteristik berikut ini:
(67)
Persamaan (67) ini memberikan solusi untuk frekuensi alamiah sistem saat terjadi osilasi pada ketiga benda bermassa tersebut adalah:
(68)
Persamaan (68) ini menunjukkan frekuensi alamiah dari setiap massa dalam sistem saat terjadi osilasi. Tampak bahwa frekuensi alamiah ( ) untuk massa M1 sama dengan nol. Hal ini dapat dipahami karena yang menjadi titik acuan gerak saat terjadi osilasi dengan perpindahan diukur x positif adalah M1. Artinya saat terjadi osilasi benda M1 seolah-olah melakukan gerak relatif terhadap sistem. Suatu gerak yang diasumsikan benda M1 diam terhadap dirinya sendiri.
5.3.2.5 Osilator Gandeng Pegas Dengan Konstanta K Yang Sama
Akan dihubungkan dengan tiga (3) titik partikel bermassa m1, m2 (m1 = m2 = m) dan M yang dipasang melingkar dengan jejari r.





Gambar 4.5.

Osilator gandeng ini dibuat dengan menghubungkan tiga buah pegas oleh tiga titik partikel bermassa, dua diantaranya bermassa m dan sisanya bermassa M, yang dipasang sedemikian secara horisontal sehingga berbentuk lingkaran dengan ruji r.
Solusi untuk menentukan frekuensi sudut sistem ini di awali dengan menentukan suku-suku yang mewakili perubahan posisi pada arah tangensial sebagai konsekwensi dari osilasi yang ditimbulkan oleh sistem pegas diatas. Dalam hal ini suku-suku tersebut secara berurutan dapat dituliskan dengan. Karena sistem berosilasi maka asumsi yang dapat dipakai untuk memberikan penegasan bahwa panjang pegas pada keadaan diam/natural akan berbada ketika pegas dalam sistem berosilasi menuju posisi kesetimbangan. Oleh karena secara matematis akan ada pengurangan panjang pegas dari keadaan sebelum osilasi sampai sistem berosilasi. Dalam hal ini variabel (a) diambil dengan mendefinisikannya lebih awal sebagai panjang pegas pada keadaan natural/diam, dan (b) didefinisikan sebagai panjang pegas pada posisi setimbangnya yakni pada saat terjadi osilasi.
Dengan demikian fungsi lagrange sistem dapat dituliskan dengan merumuskan terlebih dahulu energi kinetik dan energi potensial sistemnya.
Energi kinetik sistem adalah:
(69)
Karena osilasi bergerak dalam arah tangensial dan radial maka kecepatan yang dialami sistem adalah kecepatan sudut sehingga:


(70)
Dengan :
r = jari-jari lingkaran
= percepatan sudut yang dialami oleh sistem yang berosilasi
V = Kecepatan sudut sistem
Sehingga:



(71)
Sementara itu energi potensial ditinjau dengan mengambil asumsi bahwa gerak osilasi sistem adalah







Dari gambaran diatas panjang pegas seacara keseluruhan saat osilasi adalah:



Energi potensial sistem menjadi:

(72)
Akhirnya kembali fungsi lagrange sistem dapat ditulis mengacu pada persamaan :

Persamaan Lagrange sistem adalah:


penguraian suku-suku ini menghasilkan:




(73)
(74)
dengan demikian berdasarkan persamaan (73) dan Persamaan (74) persamaan Lagrange sistem menjadi:

+ =0
Jika variable r dipindahruaskan;
+
Persaman differensial diatas dapat diubah dalam bentuk:

Penjumlahan ketiga persamaan ini (75), (76) dan (77) menghasilkan :
(78)
Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi:

(79)
Dalam hal ini variabel ini mewakili bentuk sebagai modus normal koordinat dari system, sehingga dari persamaan (79) memberikan interpretasi sebagai frekuensi sudut alamiah dari sistem dimana;
yang menghasilkan:
(80)
Nilai Frekuensi ini bersesuaian dengan modus normal dimana sistem berotasi secara keseluruhan akan tetapi tidak ada osilasi pada daerah tersebut.
Sedangkan penjumlahan persamaan (79) dan persamaan (80) memberikan:
(81)
Jika juga dianggap sebagai modus normal koordinat dari sistem yang diwakili oleh variabel , maka persamaan (81) menjadi:

Sehingga jika persamaan (82) diselesaikan menghasilkan frekuensi sudut yaitu:

(83)
Sedangkan untuk mendapatkan frekuensi sudut , kita pilih koordinat transformasi berikut ini untuk membuat energi kinetik sistem:

Ini artinya energi kinetik sistem adalah

Dimana q1, q2, dan q3 dianggap seperti koordinat kartesian. Transformasi antara ketiga koordinat normal dan ketiga koordinat koordinat kartesian q1, q2 dan q3 haruslah linear. Persamaan (82) dapat kembali dituliskan dengan sedikit perubahan:
(84)
(85)
Sekali lagi diasumsikan bahwa persamaan (85) menjadi koordinat normal ketiga:
.(86)
Koordinat ini harus ortogonal terhadap sumbu dengan demikian diperoleh titik koordinat dari masing-masing sumbu
Dimana:
= sumbu koordinat dari transformasi koordinat
Interpretasi orthogonal dalam hal ini adalah:
(87)
( 88)
Persamaan-persamaan diatas dapat diurai menjadi: , karena koordinat normal memberikan hasil perkalian yang tidak sama dengan nol, maka pendekatan matematis untuk solusi nilai A dapat diambil A=1 untuk suatu koordinat normal. Nilai A dapat disubstitusi pada persamaan (88) yang menghasilkan:


.(89)
Persamaan diatas dapat dijadikan acuan untuk memperoleh persamaan gerak berikut:


(90)
Persaman ini menunjukkan bahwa frekuensi sudut ketiga dari sistem osialasi pegas yang disusun melingkar adalah:
.(91)
Dengan demikian secara berurutun frekuensi sudut dari sistem adalah , , dan .
5.3.2.6 Osilator gandeng dengan menggunakan 2 buah pegas yang dihubungkan oleh 2 buah benda bermassa 2m dan m yang digantung vertikal kebawah



Dari gambar 4.7 tampak bahwa dua buah massa, 2m dan m digantung kebawah dari suatu tempat dengan ketinggian tertentu dan dihubungkan oleh dua buah pegas elastik. Konstanta elastik pegas adalah K dan pegas bergerak elastik secara vertikal.
Untuk sistem diatas, diambil ¬L1 dan L2 sebagai panjang alami pegas atas dan bawah, sedangkan y1 dan y2 secara berurutan diambil sebagai ketinggian posisi benda bermassa 2m dan benda bermassa m.







Gambar 4.8
Dengan demikian, kembali dapat dirumuskan energi kinetik dan energi potensial sistem yang disubstitusi ke dalam fungsi Lagrange sistem L = T-V.
Energi kinetik dari sistem adalah :


(92)
Dan energi potensial :
(93)
Sehingga dari persamaan (92) dan (93) fungsi Lagrange menjadi:
L = T – V

(94)
substitusi persamaan (93) ke dalam persamaan Lagrange menghasilkan:



Suku I

Suku II




.(96)
Persamaan (95) dan (96) substitusi kedalam persamaan Lagrange memberikan :



Jika masing –masing komponen y1 dan y2 dipisahkan :


Jika pada keadaan setimbang semua gaya yang bekerja di ruas kanan diabaikan maka persamaan (96) dan (97) dapat dituliskan menjadi:
(99)
(100)
Solusi dapat digunakan untuk menentukan frekuensi sudut sistem osilasi. Karena :


(101)
Maka persamaan (100) dan (98) menjadi:

(102)

.(103)
Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat ditulis :



Dengan mengambil persamaan karatektristik dari matriks diatas akhirnya frekuensi alamiah benda bermassa m1 dan m2 dari sistem diperoleh sebagai berikut:

Dengan:
menjadi frekuensi sudut sistem osilasi dimana 2 buah partikel bermassa m dan 2m dihubungkan dengan pegas yang digantung dari ketinggian tertentu.
5.4. Soal-Soal Latihan
1. Diberikan bandul ganda yang coplanar seperti gambar berikut. Cari rumusan Lagrangiannya